유한 생성 가환군

유한 생성 가환군의 기본 정리는 모든 유한 생성 가환군이 순환군들의 직합으로 분해될 수 있음을 보여주는 근본적인 결과이다. 이 정리는 정수 계수 유한 생성 가환군의 구조를 완전히 분류한다.

구체적으로, 유한 생성 가환군 G는 다음과 같은 두 종류의 순환군들의 직합으로 표현된다. 하나는 무한 순환군 Z의 유한 개 직합이고, 다른 하나는 유한 순환군 Z_n의 유한 개 직합이다. 여기서 유한 순환군 부분의 크기 n_i들은 1보다 큰 정수이며, 각 n_i는 그 다음 항 n_{i+1}을 나누는 조건(n_i | n_{i+1})을 만족한다. 이 조건을 만족하는 수열 n_1, n_2, ..., n_k를 불변 인자라고 부른다.

이 분해는 유일하다. 즉, 주어진 유한 생성 가환군 G에 대해, 무한 순환군의 개수인 계수와 불변 인자들이 유일하게 결정된다. 무한 순환군의 개수는 군의 자유 부분의 계수이며, 불변 인자들로 정의되는 유한 부분은 군의 꼬임 부분군의 구조를 결정한다. 이로 인해 이 정리는 때때로 유한 생성 가환군의 기본 정리 또는 구조 정리라고 불린다.

구조 정리의 유일성 부분은 유한 생성 가환군을 기본 주기 부분군과 자유 부분의 직합으로 표현할 때, 그 표현이 본질적으로 유일함을 보장한다. 즉, 주어진 유한 생성 가환군 G에 대해, 양의 정수 r과 서로 다른 소수 p_i와 자연수 e_{ij}들이 존재하여 G가 특정 형태의 순환군들의 직합으로 표현되며, 이때 r과 각 소수 거듭제곱 인자들(초등 제수)은 G에 의해 유일하게 결정된다.

구체적으로, 유한 생성 가환군 G는 자유 가환군의 랭크 r과 유한한 위수를 가진 주기 부분군의 초등 제수 또는 불변 인자로 표현된다. 이 불변 인자들은 서로 나누어지는 관계를 만족하며, 이 인자들의 집합은 군 G의 동형류를 완전히 결정한다. 이는 군의 동형 관점에서, 두 유한 생성 가환군이 동형일 필요충분조건이 그들의 자유 랭크와 불변 인자 계열이 일치하는 것임을 의미한다.

이 유일성 정리는 군론과 가환대수학에서 중요한 도구가 된다. 예를 들어, 주어진 군의 구조를 분류하거나, 두 군이 동형인지 판별할 때 사용된다. 또한 이 정리는 유한 생성 가군에 대한 구조 정리로 일반화되며, 특히 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군의 분류 이론의 기초를 이룬다.

순환군은 하나의 생성원으로 생성되는 군을 말한다. 모든 원소가 어떤 하나의 원소의 거듭제곱으로 표현될 수 있다. 유한 생성 가환군의 기본 정리에 따르면, 유한 생성 가환군은 순환군들의 직합으로 분해된다.

순환군은 크게 두 가지 유형이 있다. 하나는 무한 순환군으로, 정수의 덧셈군과 동형이다. 다른 하나는 유한 순환군으로, 합동 산술에서의 잉여류군과 동형이다. 모든 순환군은 가환군이며, 가장 단순한 구조를 가진 군의 예시로 자주 등장한다.

유한 생성 가환군의 구조 정리에서, 분해된 순환군의 차수는 초등 인자나 불변 인자라는 형태로 나타난다. 이는 군의 구조를 완전히 결정하는 중요한 정보가 된다. 예를 들어, 크기가 12인 가환군은 순환군 C12, 또는 C4와 C3의 직합 등으로 표현될 수 있다.

자유 가환군은 기저를 갖는 가환군이다. 정수 환 Z 위의 자유 가군과 동일한 개념으로, 군의 원소들이 기저 원소들의 정수 계수 선형 결합으로 유일하게 표현된다. 이는 벡터 공간이 체 위의 자유 가군인 것과 유사한 성질을 가진다.

자유 가환군의 기저의 크기를 그 군의 계수라고 부른다. 계수가 n인 자유 가환군은 n개의 순환군 Z의 직합, 즉 Z^n과 동형이다. 예를 들어, 계수 2인 자유 가환군은 평면 격자점들의 군 Z^2와 같다.

모든 유한 생성 가환군은 하나의 자유 가환군과 하나의 유한군의 직합으로 분해된다는 것이 유한 생성 가환군의 기본 정리의 핵심이다. 이 정리에 따르면, 자유 가환군 성분이 군의 무한한 부분을, 유한군 성분이 꼬임 부분군을 담당한다.

자유 가환군은 호몰로지 이론에서 중요한 역할을 하며, 특히 위상 공간의 호몰로지 군 계산에 자주 등장한다. 또한, 대수적 수론에서 이데알 유군과 같은 군의 연구에도 활용된다.

유한 생성 가군은 가군 이론에서 중요한 개념으로, 유한 생성 가환군의 개념을 일반 환 위의 가군으로 확장한 것이다. 정확히는, 가군 M이 유한 생성이라는 것은 M의 유한 개의 원소들로 생성되는 부분가군이 M 자신과 일치함을 의미한다. 즉, M 내에 유한 개의 원소가 존재하여, 이들 원소의 모든 환 계수 선형 결합으로 M의 모든 원소를 나타낼 수 있다.

이 개념은 선형대수학에서 벡터 공간의 기저와 유사하지만, 기저가 항상 존재하지 않는 일반 가군의 맥락에서 더 넓게 적용된다. 정수환 위의 유한 생성 가군은 바로 유한 생성 가환군에 해당하며, 이 경우 앞서 설명한 구조 정리가 성립한다. 반면, 일반적인 환, 예를 들어 다항식환이나 비가환환 위에서는 훨씬 더 복잡한 구조를 가질 수 있다.

유한 생성 가군은 가환대수학과 대수기하학의 핵심 연구 대상이다. 뇌터 환 위의 유한 생성 가군은 특히 중요한데, 이는 모든 부분가군이 다시 유한 생성된다는 좋은 성질을 가지기 때문이다. 이 성질은 힐베르트 기저 정리와 같은 중요한 결과들을 낳았다. 또한 사영 가군, 자유 가군, 국소화 등의 개념과 깊이 연관되어 있다.

아벨 군 범주는 모든 사상이 핵과 여핵을 가지며, 이에 따라 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하는 가법 범주이다. 이는 가환군의 모임이 범주로서 가지는 핵심적인 대수적 성질을 추상화한 개념이다. 특히, 아벨 군의 범주는 아벨 군 범주의 가장 대표적인 예시이며, 유한 생성 가환군의 범주는 그 완전 부분 범주를 이룬다.

아벨 군 범주에서의 동형 사상은 단사 사상이면서 전사 사상인 사상으로 정의되며, 이는 군이나 가환군에서의 동형 개념과 일치한다. 또한, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이 되며, 이로부터 중요한 호몰로지 대수적 성질이 유도된다. 이러한 구조는 가환대수와 대수기하학에서 가군의 범주를 다룰 때 광범위하게 응용된다.

아벨 군 범주의 다른 중요한 예로는 가환환 위의 왼쪽 가군의 범주나 오른쪽 가군의 범주가 있다. 특히, 체 위의 벡터 공간의 범주는 아벨 군 범주의 특별한 경우이다. 이러한 추상화를 통해 호몰로지와 코호몰로지 이론, 특히 사슬 복합체와 유도 함자의 이론이 체계적으로 발전할 수 있었다.